Dreieck/Umkreismittelpunkt/Koordinaten/Aufgabe

Im ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei ein nichtausgeartetes Dreieck gegeben, wobei die Eckpunkte die Koordinaten

{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\end{pmatrix}}

haben. Es sei

{}d=2(x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2}))\,.

Zeige, dass der Umkreismittelpunkt des Dreiecks die Koordinaten

{}x={\frac {(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(y_{2}-y_{3})+(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})(y_{3}-y_{1})+(x_{3}^{2}+y_{3}^{2})(y_{1}-y_{2})}{d}}\,

und

{}y={\frac {(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{3}-x_{2})+(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}^{2}+y_{3}^{2})(x_{2}-x_{1})}{d}}\,

besitzt.