Dreieck/Winkelhalbierende/Schnittpunkt/Fakt

Satz über die Winkelhalbierenden

Die drei Winkelhalbierenden in einem Dreieck

treffen sich in einem gemeinsamen Schnittpunkt, der zu jeder Seite des Dreiecks den gleichen Abstand.

Wenn die Eckpunkte durch ${}A={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}},C={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}$ und die Seitenlängen mit ${}a=d(B,C),b=d(A,C),c=d(A,B)$ bezeichnet werden, so besitzt dieser Schnittpunkt die Koordinaten

${\frac {1}{a+b+c}}{\begin{pmatrix}aa_{1}+bb_{1}+cc_{1}\\aa_{2}+bb_{2}+cc_{2}\end{pmatrix}}.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen