Dreiecke/Nicht entartet/Offen/Umfang 1/Mannigfaltigkeit/Aufgabe/Lösung

1. Die Eckpunkte ${}P_{1}$ und ${}P_{2}$ stimmen genau dann überein, wenn ihre beiden Koordinaten übereinstimmen, wenn also ${}x_{1}=x_{2}$ und ${}y_{1}=y_{2}$ ist. Eine solche Bedingung definiert eine abgeschlossene Teilmenge, da es sich um die Faser einer (stetigen) linearen Abbildung handelt. Da eine endliche Vereinigung von abgeschlossenen Teilmengen wieder abgeschlossen ist, ist die in Frage stehende Menge abgeschlossen.
2. Wir betrachten die Verbindungsvektoren

   $P_{2}-P_{1}={\begin{pmatrix}x_{2}-x_{1}\\y_{2}-y_{1}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,P_{3}-P_{1}={\begin{pmatrix}x_{3}-x_{1}\\y_{3}-y_{1}\end{pmatrix}}$

   Die drei Punkte sind genau dann kollinear, wenn diese zwei Vektoren linear abhängig sind, und dies ist genau dann der Fall, wenn ihre Determinante ${}0$ ist. Die Kollinearitätssbedingung lautet somit

   ${}H(x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3})=(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_{1})=0\,.$

   Da ${}H$ eine polynomiale Abbildung und damit stetig ist, ist die Faser zu ${}0$ eine abgeschlossene Teilmenge.

3. Da der Umfang einfach die Summe der drei beteiligten Dreiecksseiten ist, gilt

   ${}{\begin{aligned}F(x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3})&=d(P_{1},P_{2})+d(P_{1},P_{3})+d(P_{2},P_{3})\\&={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}+{\sqrt {(x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}}}+{\sqrt {(x_{3}-x_{2})^{2}+(y_{3}-y_{2})^{2}}}.\,\end{aligned}}$

4. Für einen Punkt aus ${}U$ ist jeder Radikand als polynomiale Funktion stetig differenzierbar und echt positiv, somit sind auch die Quadratwurzeln daraus stetig differenzierbar.
5. Die partielle Ableitung ist

   ${}{\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial x_{1}}}&={\frac {1}{2}}{\left((x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}\right)}^{-1/2}(2x_{1}-2x_{2})+{\frac {1}{2}}{\left((x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}\right)}^{-1/2}(2x_{1}-2x_{3})\\&={\left((x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}\right)}^{-1/2}(x_{1}-x_{2})+{\left((x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}\right)}^{-1/2}(x_{1}-x_{3}).\,\end{aligned}}$

6. Auf ${}U$ sind die Radikanden positiv, somit verschwindet die partielle Ableitung nach ${}x_{1}$ nur, falls ${}x_{1}=x_{2}=x_{3}$ ist. Ein Dreieck mit dieser Bedingung ist aber kollinear. Das bedeutet, dass auf ${}V$ die partielle Ableitung nach ${}x_{1}$ nie ${}0$ wird und das bedeutet insbesondere, dass der Gradient auf ${}V$ nirgends verschwindet, also regulär ist. Nach Fakt ist die Faser eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, und zwar der Dimension

   ${}6-1=5\,.$

Zur gelösten Aufgabe