Dritter Kreisteilungsring/Kubische Erweiterung zu 2/Zerlegungsgruppe/Aufgabe/Lösung

In ${}\mathbb {Z} /(5)[Y]$ gilt die Faktorzerlegung

${}Y^{3}-2=Y^{3}+3=(Y+2)(Y^{2}+3Y+4)\,.$

Über ${}(5)$ liegen im Ganzheitsring die drei Primideale

${\mathfrak {q}}_{1}=(5,X^{2}+X+1,Y-3),\,{\mathfrak {q}}_{2}=(5,X^{2}+X+1,Y-3X),\,{\mathfrak {q}}_{3}=(5,X^{2}+X+1,Y-3X^{2}).$

Wir betrachten den Automorphismus, der ${}X$ auf ${}X^{2}$ und ${}Y$ auf sich selbst abbildet. Dieser bildet ${}{\mathfrak {q}}_{1}$ auf sich selbst ab, gehört also zur Zerlegungsgruppe von ${}{\mathfrak {q}}_{1}$, und vertauscht ${}{\mathfrak {q}}_{2}$ und ${}{\mathfrak {q}}_{3}$,

gehört also nicht zu deren Zerlegungsgruppe.

Zur gelösten Aufgabe