Duale Abbildung/Duale Basis/Matrix/Fakt/Beweis

Beweis

Die Behauptung bedeutet die Gleichheit

${}\varphi ^{*}(w_{j}^{*})=\sum _{i=1}^{n}a_{ji}v_{i}^{*}\,$

in ${}{V}^{*}$. Dies kann man auf der Basis ${}v_{k}$, ${}k=1,\ldots ,n$, überprüfen. Es ist einerseits

${}{\begin{aligned}{\left(\varphi ^{*}(w_{j}^{*})\right)}(v_{k})&=w_{j}^{*}{\left(\varphi (v_{k})\right)}\\&=w_{j}^{*}{\left(\sum _{r=1}^{m}a_{rk}w_{r}\right)}\\&=\sum _{r=1}^{m}a_{rk}w_{j}^{*}(w_{r})\\&=a_{jk}\end{aligned}}$

und andererseits ebenso

${}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ji}v_{i}^{*}\right)}(v_{k})=a_{jk}\,.$

Zur bewiesenen Aussage