Ebene/Geraden/Schnittpunktanzahl/Beispiel

Wir betrachten in der Ebene ${}E$ eine Konfiguration von ${}n$ Geraden und fragen uns, was die maximale Anzahl an Schnittpunkten ist, die eine solche Konfiguration haben kann. Dabei ist es egal, ob wir uns die Ebene als einen ${}\mathbb {R} ^{2}$ (eine kartesische Ebene mit Koordinaten) oder einfach elementargeometrisch vorstellen, wichtig ist im Moment allein, dass sich zwei Geraden in genau einem Punkt schneiden können oder aber parallel sein können. Wenn ${}n$ klein ist, so findet man relativ schnell die Antwort.

${}n$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}n$
${}S(n)$	${}0$	${}0$	${}1$	${}3$	${}6$	${}?$	${}?$

Doch schon bei etwas größerem ${}n$ (${}n=5,10,\ldots$?) kann man ins Grübeln kommen, da man sich die Situation irgendwann nicht mehr präzise vorstellen kann. Aus einer präzisen Vorstellung wird eine Vorstellung von vielen Geraden mit vielen Schnittpunkten, woraus man aber keine exakte Anzahl der Schnittpunkte ablesen kann. Ein sinnvoller Ansatz zum Verständnis des Problems ist es, sich zu fragen, was eigentlich passiert, wenn eine neue Gerade hinzukommt, wenn also aus ${}n$ Geraden ${}n+1$ Geraden werden. Angenommen, man weiß aus irgendeinem Grund, was die maximale Anzahl der Schnittpunkte bei ${}n$ Geraden ist, im besten Fall hat man dafür eine Formel. Wenn man dann versteht, wie viele neue Schnittpunkte maximal bei der Hinzunahme von einer neuen Geraden hinzukommen, so weiß man, wie die Anzahl der maximalen Schnittpunkte von ${}n+1$ Geraden lautet.

Dieser Übergang ist in der Tat einfach zu verstehen. Die neue Gerade kann höchstens jede der ${}n$ alten Geraden in genau einem Punkt schneiden, deshalb kommen höchstens ${}n$ neue Schnittpunkte hinzu. Wenn man die neue Gerade so wählt, dass sie zu keiner der gegebenen Geraden parallel ist (was möglich ist, da es unendlich viele Richtungen gibt) und ferner so wählt, dass die neuen Schnittpunkte von den schon gegebenen Schnittpunkten der Konfiguration verschieden sind (was man erreichen kann, indem man die neue Gerade parallel verschiebt, um den alten Schnittpunkten auszuweichen), so erhält man genau ${}n$ neue Schnittpunkte. Von daher ergibt sich die (vorläufige) Formel

${}S(n+1)=1+2+3+\cdots +n-2+n-1+n\,$

bzw.

${}S(n)=1+2+3+\cdots +n-3+n-2+n-1\,,$

also einfach die Summe der ersten ${}n-1$ natürlichen Zahlen.