Ebene/Vektorraum/Anschaulich/Beispiel
Es sei eine „Ebene“ mit einem fixierten „Ursprungspunkt“ . Wir identifizieren einen Punkt mit dem Verbindungsvektor . In dieser Situation kann man ein anschauliche koordinatenfreie Vektoraddition und eine koordinatenfreie Skalarmultiplikation einführen. Zwei Vektoren und werden miteinander addiert, indem man das Parallelogramm zu diesen beiden Vektoren konstruiert. Das Ergebnis der Addition ist die Ecke des Parallelogramms, das gegenüberliegt. Bei der Konstruktion muss man die zu parallele Gerade durch und die zu parallele Gerade durch zeichnen. Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden ist der gesuchte Punkt. Eine entsprechende Vorstellung ist, dass man den Vektor parallel verschiebt und an „anlegt“, d.h. dass man den Startpunkt des einen Pfeiles an den Endpunkt des anderen anheftet.
Für die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar muss dieser als ein Punkt auf einer Geraden gegeben sein, auf der darüber hinaus ein Nullpunkt und eine Eins fixiert sind. Wie diese Gerade in der Ebene liegt, ist zunächst gleichgültig. Man bewegt die Gerade (dabei darf man verschieben und auch drehen) so, dass der Nullpunkt auf zu liegen kommt und vermeidet, dass die Gerade deckungsgleich zu der von erzeugten Geraden - nennen wir sie - wird. Nun verbindet man und mit einer Geraden und zeichnet dazu die zu parallele Gerade durch . Der Schnittpunkt von und ist .
Diese Überlegungen kann man auch höherdimensional anstellen, wobei sich allerdings das Wesentliche in der von den beiden beteiligten Vektoren (bzw. Geraden) erzeugten Ebene abspielt.