Ebene/Z mod 11/Drei Punkte/Gerade/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe/Lösung

Im Vektorraum ${}K^{2}$ gibt es ${}121$ Elemente. Insgesamt gibt es

${}121^{3}=1771561\,$

Wahlmöglichkeiten für die drei Punkte. Zwei verschiedene Punkte definieren eine eindeutige Gerade, und jede Gerade besitzt so viele Elemente wie der Körper, also ${}11$ Elemente. Dass die beiden zuerst gewählten Punkte übereinstimmen, hat die Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{121}}$. In diesem Fall liegen alle drei Punkte auf einer Geraden. Der komplementäre Fall, dass die beiden zuerst gewählten Punkte nicht übereinstimmen, besitzt die Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {120}{121}}$. In diesem Fall wird durch die beiden ersten Punkte eine Gerade festgelegt. Die Wahrscheinlichkeit, dass der dritte Punkt auf dieser Geraden liegt, ist dann ${}{\frac {11}{121}}={\frac {1}{11}}$. Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass die drei Punkte auf (mindestens) einer Geraden liegen, beträgt somit

${}{\begin{aligned}{\frac {1}{121}}+{\frac {120}{121}}\cdot {\frac {1}{11}}&={\frac {11+120}{1331}}\\&={\frac {131}{1331}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe