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Ebene Drehung/Eigentheorie/C/Aufgabe/Lösung
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Ebene Drehung/Eigentheorie/C/Aufgabe
Das charakteristische Polynom ist
det
(
X
(
1
0
0
1
)
−
(
cos
α
−
sin
α
sin
α
cos
α
)
)
=
det
(
X
−
cos
α
sin
α
−
sin
α
X
−
cos
α
)
=
(
X
−
cos
α
)
2
+
sin
2
α
.
{\displaystyle {}\det \left(X{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\right)=\det {\begin{pmatrix}X-\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &X-\cos \alpha \end{pmatrix}}={\left(X-\cos \alpha \right)}^{2}+\sin ^{2}\alpha \,.}
Die Nullstellen davon sind
x
1
=
cos
α
+
i
sin
α
{\displaystyle {}x_{1}=\cos \alpha +{\mathrm {i} }\sin \alpha \,}
und
x
2
=
cos
α
−
i
sin
α
.
{\displaystyle {}x_{2}=\cos \alpha -{\mathrm {i} }\sin \alpha \,.}
Zur gelösten Aufgabe