Durch Addition der beiden Gleichungen erhält man für einen Schnittpunkt sofort die Bedingung
-

Die
-Koordinate eines Schnittpunktes ist also
oder eine vierte Einheitswurzel, also
.
Bei
ergibt sich sofort
.
Den Restklassenring kann man schreiben als
-
![{\displaystyle {}K[X,Y]_{(X,Y)}/(X-Y^{2},Y^{2}-X^{5})=K[Y]_{(Y)}/(Y^{2}-Y^{10})=K[Y]_{Y}/(Y^{2}(1-Y^{8}))\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c6a400c330cca982ab822542ba2401ea26745c)
Da
in diesem lokalen Ring eine Einheit ist, handelt es sich um
, sodass sich in
die Schnittmultiplizität
ergibt.
Es sei nun
eine vierte Einheitswurzel. Wegen
muss
eine achte Einheitswurzel sein. Wir bezeichnen mit
die erste primitive achte Einheitswurzel. Dann hat man die acht weiteren Schnittpunkte
-
Wir zeigen, dass in all diesen Punkte der Schnitt transversal ist und daher die Schnittmultiplizität immer eins ist. Dazu berechnen wir allgemein die partiellen Ableitungen, also
-
In jedem der obigen acht Schnittpunkte
sind wegen
beide Kurven glatt. Wegen
hat der Ableitungsvektor rechts die Gestalt
. Die Richtungstangenten der beiden Kurven können also nur dann linear abhängig sein, wenn
ist, was wegen
nicht möglich ist.
Betrachten wir noch die unendlich fernen Punkte. Die Homogenisierungen sind
,
sodass der einzige unendlich ferne Punkt auf
gleich
ist, und
,
sodass der einzige unendlich ferne Punkt auf
gleich
ist. Diese Punkte sind verschieden, es gibt also keinen weiteren Schnittpunkt im Unendlichen.
Die Gesamtsumme der Schnittmultiplizitäten ist demnach
.
Da die beteiligten Kurven den Grad
und
besitzen, stimmt das mit dem Produktgrad
überein, was die Behauptung des Satzes von Bezout ist.