Ebene Kurven/Schnitt und Schnittmultiplizität/Y ist X^3 und Y^2 ist X^3/Aufgabe/Lösung

Die Schnittpunkte der beiden Kurven im sind durch gegeben. Das heißt für einen Schnittpunkt muss gelten

Wir setzen die erste Gleichung in die zweite ein und erhalten . Also ist oder . Folglich sind die Schnittpunkte gegeben durch

wobei eine primitive dritte Einheitswurzel ist. Im Nullpunkt ist der Restklassenring gleich

Dieser hat die Dimension drei, so dass also die Schnittmultiplizität dort ist.

Zur Bestimmung der Schnittmultiplizitäten in den drei anderen Punkten berechnen wir die partiellen Ableitungen, das ergibt einerseits

und andererseits

Da ist, sind diese beiden Richtungen linear unabhängig, so dass beide Kurven in diesen Punkten glatt sind und ein transversaler Schnitt vorliegt, also Schnittmultiplizität eins.

Im Projektiven müssen wir die beiden Ideale homogenisieren, d.h. wir betrachten und . Mit erhalten wir, dass sein muss, und finden also den Schnittpunkt . Eine affine Umgebung wird durch gegeben, mit den affinen Gleichungen und . Da dies die Ausgangsgleichungen sind, ist dort die Schnittmultiplizität wieder gleich . Die Summe der Schnittmultiplizitäten ist also , was auch dem Produkt der beiden Kurvengrade entspricht.