Ebene affine Kurve/xy^3+y+x^3/Glatt/Aufgabe/Lösung


Die partiellen Ableitungen sind

und

  1. Im gegebenen Punkt ist

    und

    also liegt ein singulärer Punkt vor.

  2. Es ist zu zeigen, dass diese beiden partiellen Ableitungen und über einem beliebigen Körper der Charakteristik keine gemeinsame Nullstelle haben. Aus

    und der Kurvengleichung folgt

    also

    Dies in die erste partielle Ableitung eingesetzt ergibt

    Dies in die zweite partielle Ableitung eingesetzt ergibt

    Daraus folgt einerseits und andererseits, dass wir Charakteristik annehmen können. Dann ist

    und

    also

    bzw.

    was bei Charakteristik ausgeschlossen ist.