Ebene affine Kurve/xy^3+y+x^3/Glatt/Aufgabe/Lösung
Die partiellen Ableitungen sind
und
- Im gegebenen Punkt ist
und
also liegt ein singulärer Punkt vor.
- Es ist zu zeigen, dass diese beiden partiellen Ableitungen und über einem beliebigen Körper der Charakteristik keine gemeinsame Nullstelle haben. Aus
und der Kurvengleichung folgt
also
Dies in die erste partielle Ableitung eingesetzt ergibt
Dies in die zweite partielle Ableitung eingesetzt ergibt
Daraus folgt einerseits und andererseits, dass wir Charakteristik annehmen können. Dann ist
und
also
bzw.
was bei Charakteristik ausgeschlossen ist.