Ebene affine Kurven/Hyperbel/zur Einführung/Beispiel

Ein typisches und wichtiges Beispiel für eine rationale Funktion ist ${}Y=1/X$. Den zugehörigen Graphen nennt man Hyperbel ${}H$. Nennerfrei geschrieben ergibt sich die Gleichung

$XY=1{\text{ bzw. }}H={\left\{(x,y)\mid xy=1\right\}}.$

Diese rationale Funktion ist auf ${}K^{\times }=K\setminus \{0\}$ eine echte Funktion (mit ${}H$ als Graphen) und stiftet eine „natürliche“ Bijektion

$K^{\times }\longrightarrow H,\,x\longmapsto {\left(x,{\frac {1}{x}}\right)}.$

${}K^{\times }$ und ${}H$ sind also in einem später zu präzisierenden Sinn „äquivalent“ oder „isomorph“.

Beide Beschreibungen haben etwas für sich. Die Beschreibung als ${}K^{\times }\subset K$ spielt sich auf einer Geraden ab (wenn man an ${}K=\mathbb {R}$ denkt), dafür gehört der Punkt ${}0$, der ein Häufungspunkt von ${}K^{\times }$ ist, nicht zu ${}K^{\times }$. D.h., ${}K^{\times }$ ist nicht abgeschlossen. Dagegen ist die Hyperbel in ${}\mathbb {R} ^{2}$ abgeschlossen, für die abgeschlossene Realisierung muss man also in eine höhere Dimension gehen. Die Frage, was eine gute Beschreibung für ein Objekt der algebraischen Geometrie ist, wird immer wieder auftauchen.

Im reellen Fall, also bei ${}K=\mathbb {R}$, besteht ${}\mathbb {R} ^{\times }$ (und entsprechend $H_{\mathbb {R} }$) aus zwei disjunkten „Zweigen“, ist also nicht zusammenhängend. Im komplexen Fall, also bei ${}K=\mathbb {C}$, ist ${}\mathbb {C} ^{\times }$ (und entsprechend $H_{\mathbb {C} }$) eine punktierte reelle Ebene, also zusammenhängend. Dies ist ein typisches Phänomen der algebraischen Geometrie, dass wichtige Eigenschaften vom Grundkörper abhängen. Besonders wichtig sind dann aber Eigenschaften, die nur von den beschreibenden Gleichungen abhängen und für die Lösungsmengen zu allen Körpern gelten.