Ebene algebraische Kurve/Glatter Punkt/Liegt nur auf einer Komponente/Fakt/Beweis

Da $P\in C$ wissen wir, dass $F(P)=0$. Weiterhin, weil $P$ glatter Punkt der Kurve, ist ohne Einschränkung ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)\neq 0$.

Mit Kettenregel gilt ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial F_{k}}{\partial X}}(P)\cdot F_{1}(P)\cdots F_{k-1}(P)\cdot F_{k+1}(P)\cdots F_{n}(P)$.

Wenn für $i\neq j$ gilt, dass $F_{i}(P)=F_{j}(P)=0$, dann hat jedes Produkt einen Nullfaktor $\Rightarrow {\frac {\partial F}{\partial X}}(P)=0$, Widerspruch!