Ebene algebraische Kurve/Potenzreihenansatz/x^3+y^2-xy+x/Nullpunkt/Aufgabe/Lösung

Wir setzen an ${}X=F(Y)={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}Y^{i}$ , und bestimmen die Koeffizienten ${}a_{0},\ldots ,a_{6}$ aufgrund der Bedingung

{}({\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}Y^{i})^{3}+Y^{2}-({\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}Y^{i})Y+({\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}Y^{i})=0\,.

Da die Potenzreihe die Kurve im Nullpunkt approximieren soll, muss ${}a_{0}=0$ sein. Für ${}Y^{1}$ ergibt sich die Koeffizientenbedingung

{}a_{1}=0\,,

da die ersten drei Summanden keinen Beitrag leisten. Für ${}Y^{2}$ ergibt sich

1+a_{2}=0,{\text{ also }}a_{2}=-1.

Damit ist der zweite Summand ${}Y^{2}$ abgearbeitet. Für ${}Y^{3}$ ergibt sich

-a_{2}+a_{3}=0,{\text{ also }}a_{3}=a_{2}=-1.

Für ${}Y^{4}$ ergibt sich

-a_{3}+a_{4}=0,{\text{ also }}a_{4}=a_{3}=-1

und für ${}Y^{5}$ ergibt sich

-a_{4}+a_{5}=0,{\text{ also }}a_{5}=a_{4}=-1.

Bei ${}Y^{6}$ muss erstmals auch der erste Summand berücksichtigt werden, und zwar ergibt sich

a_{2}^{3}-a_{5}+a_{6}=0,{\text{ also }}a_{6}=a_{5}-a_{2}^{3}=-1-(-1)^{3}=0.