Ebene algebraische Kurve/Potenzreihenansatz/x^4-x^2+3xy-2y^3/Nullpunkt/Grad 3/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Ansatz ${}Y=F(X)={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}$, setzen dies in die Gleichung

${}X^{4}-X^{2}+3XY-2Y^{3}=0\,$

ein und berechnen sukzessive die Koeffizienten durch Vergleich der Koeffizienten für ${}X^{i}$.

$X^{0}:-2a_{0}^{3}=0{\text{ also }}a_{0}=0.$

Daher ist der Koeffizient zu

$X^{1}$

schon gleich ${}0$.

$X^{2}:-1+3a_{1}=0,{\text{ also }}a_{1}={\frac {1}{3}}.$

$X^{3}:3a_{2}-2a_{1}^{3}=0,{\text{ also }}a_{2}={\frac {2}{3^{4}}}={\frac {2}{81}}.$

$X^{4}:1+3a_{3}-6a_{1}^{2}a_{2}=1+3a_{3}-{\frac {4}{243}}=0,{\text{ also }}a_{3}=-{\frac {239}{729}}.$

Die Anfangsglieder der Potenzreihe sind also

$F={\frac {1}{3}}X+{\frac {2}{81}}X^{2}-{\frac {239}{729}}X^{3}+\ldots .$

Zur gelösten Aufgabe