Ebene algebraische Kurve/Schnitt von Kurven ohne gemeinsame Komponente/Beschreibung als Produktring/Fakt/Beweis

Beweis

Da ${}F$ und ${}G$ keinen gemeinsamen Primteiler haben, umfasst das Ideal ${}(F,G)$ nur endlich viele Primideale, die alle maximal sind. Daher erfüllt Der Restklassenring ${}R/(F,G)$ die Bedingungen aus Fakt. Da der Körper algebraisch abgeschlossen ist, entsprechen die maximalen Ideale eindeutig den Punkten im Schnitt der beiden zugehörigen Kurven $V(F)$ und $V(G)$, so dass sich die Aussage ergibt.

Zur bewiesenen Aussage