Ebene algebraische Kurve/x^2-y^2+y^3/Beschreibung/Beispiel

Wir betrachten die durch

$P=t^{2}-1\,\,{\text{ und }}\,\,Q=t^{3}-t=t(t^{2}-1)$

gegebene Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2}.$

Für die beiden Punkte ${}t=\pm 1$ ergibt sich der Wert ${}(0,0)$. Für alle anderen Stellen ${}t\neq \pm 1$ kann man

${}t={\frac {t^{3}-t}{t^{2}-1}}={\frac {Q(t)}{P(t)}}\,$

schreiben. D.h. dass ${}t$ aus den Bildwerten rekonstruierbar ist, und das bedeutet, dass die Abbildung dort injektiv ist. Die Bildkurve ist also eine Kurve, die sich an genau einer Stelle überschneidet.

Wir bestimmen die Kurvengleichung, und schreiben ${}x=t^{2}-1$ und ${}y=t^{3}-t$. Es ist ${}t^{2}=x+1$ und

${}y^{2}=t^{2}{\left(t^{2}-1\right)}^{2}=t^{2}x^{2}=(x+1)x^{2}=x^{3}+x^{2}\,.$

Das beschreibende Polynom ist also

$Y^{2}-X^{3}-X^{2}.$