Ebene algebraische Kurven/Linear äquivalent/Einheitskreis und 4x^2+3y^2 ist 9/Q und R/Aufgabe/Lösung

Es ist ${}4X^{2}+3Y^{2}=9$ äquivalent zu ${}\left({\frac {2}{3}}X\right)^{2}+\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}Y\right)^{2}=1={\tilde {X}}^{2}+{\tilde {Y}}^{2}$. Über ${}\mathbb {R}$ ist also ${}{\tilde {X}}={\frac {2}{3}}X$, ${}{\tilde {Y}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}Y$ eine affin-lineare Transformation.

Für den Fall ${}\mathbb {Q}$ setzen wir ${}{\tilde {X}}=aX+bY+c$ und ${}{\tilde {Y}}=dX+eY+f$ mit Koeffizienten ${}a,b,c,d,e,f\in \mathbb {Q}$ an. Es ergibt sich

${}{\begin{aligned}{\tilde {X}}^{2}+{\tilde {Y}}^{2}&=(aX+bY+c)^{2}+(dX+eY+f)^{2}\\&=\left(a^{2}+d^{2}\right)X^{2}+\left(b^{2}+e^{2}\right)Y^{2}+2(ab+de)XY+H(X,Y)\end{aligned}}$

mit ${}H\in \mathbb {Q} [X,Y]$ mit ${}\operatorname {grad} H\leq 1$. Es muss also die Gleichheit ${}b^{2}+e^{2}={\frac {1}{3}}\Longleftrightarrow 3(b^{2}+e^{2})=1$ gelten. Durch multiplizieren mit dem Hauptnenner können wir die Gleichung auf die Form

$3(r^{2}+s^{2})=t^{2}$

bringen, wobei ${}r,s,t\in \mathbb {Z}$. Wir wollen zeigen, dass diese Gleichung keine ganzzahlige Lösung besitzt. Da die linke Seite der Gleichung ein Vielfaches von ${}3$ ist, folgt ${}3{|}t$, also ${}9{|}t^{2}$, woraus ${}3{|}(r^{2}+s^{2})$ folgt. In ${}\mathbb {Z} /(3)$ ist ${}r^{2}+s^{2}=0$ genau dann, wenn ${}r=0$ und ${}s=0$. Daraus folgt ${}9{|}(r^{2}+s^{2})$ und wir können beide Seiten der Gleichung durch ${}9$ teilen. Wir setzen nun ${}r'={\frac {r}{3}}$, ${}s'={\frac {s}{3}}$ und ${}t'={\frac {t}{3}}$. Absteigende Induktion führt zum Ziel.

Zur gelösten Aufgabe