Ebene algebraische Kurven/Z mod 5/Einheitskreis und x^3-2y^2+3/Durchschnitt und unendlich ferne Punkte/Aufgabe/Lösung

Wir addieren die beiden Gleichungen

und erhalten die Bedingung

Für die möglichen Werte ergibt sich beim Einsetzen:. Diese Bedingung ist also nicht erfüllbar und daher ist der Durchschnitt der beiden Kurven in leer. Für die Punkte im Unendlichen betrachten wir die Homogenisierungen, also zunächst .

Für erhält man die Bedingung . Die Quadrate in sind . Die Lösung ist nicht erlaubt, da sie keinen projektiven Punkt repräsentiert, und man erhält die Lösungen und . Da wir an den projektiven Punkten interessiert sind, kann man die erste Komponente zu normieren und die zweite Komponente muss oder sein. Es gibt also zwei unendlich ferne Punkte.

Die Homogenisierung der anderen Gleichung ist . Bei ergibt sich sofort und damit , so dass der einzige unendlich ferne Punkt gleich ist. Damit ist auch der Durchschnitt der projektiven Abschlüsse leer.

Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper gibt es nach dem Satz von Bezout Schnittpunkte (mit Vielfachheit gezählt), die obigen Berechnungen auf der unendlich fernen Geraden ändern sich aber nicht, so dass es dort keine Schnittpunkte gibt.