Ebene glatte Kurve/Grad 4/Normalform/Syzygienbündel/2/Bemerkung

Eine ebene glatte Kurve vom Grad vier hat nach Shioda, , die Standardform

Dabei ist ein homogenes Polynom vom Grad in den Variablen und ein homogenes Polynom vom Grad in den Variablen . Dabei ist , da sonst die Kurve reduzibel wäre. Daher können wir durch eine Variablentransformation in annehmen, dass sowohl als auch in und damit in nichttrivial vorkommen. Somit sind und Parameter. Wir schreiben und .

Wir multiplizieren die Gleichung mit und erhalten aus

dass

ein globaler Schnitt

ist. Dieser Schnitt hat eine Nullstelle in einem Punkt der Kurve genau dann, wenn die Koordinaten des Punktes und

ist. Bei

wäre auch , das kann nicht sein. Also ist bei der Schnitt nullstellenfrei. D.h. wir haben in diesem Fall eine kurze exakte Sequenz aus lokal freien Garben

wobei den Grad besitzt. Wir tensorieren mit und erhalten

Die Kohomologieklasse rechts rührt von einer Klasse im Syzygienbündel her. Kommt nicht von links her. Im Frobeniusabschluss? .




Es sei nun . Dann ist

ein globaler Schnitt

Aus folgt

Aus folgt , es liegt also eine Nullstelle in vor. Zur Bestimmung der Vielfachheit arbeiten wir mit affinen Koordinaten, wir betrachten die affine Kurvengleichung

Daraus folgt, dass ein lokaler Parameter in ist und dass die Ordnung besitzt. Dann hat auch die Ordnung (?)

Wir erhalten eine destabilisierende kurze exakte Sequenz

Wir tensorieren mit , dadurch werden beide Seiten positiv und alles vom Grad liegt im tight closure. Es ist

Daher ist modulo , da dies sonst auch im Polynomring gelten würde.