Ebene glatte Kurve/Grad 4/Normalform/Syzygienbündel/2/Bemerkung

Eine ebene glatte Kurve vom Grad vier hat nach Shioda, , die Standardform

${}F=x^{3}z+xp(y,z)+q(y,z)=0\,.$

Dabei ist ${}p$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}3$ in den Variablen ${}y,z$ und ${}q$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}4$ in den Variablen ${}y,z$. Dabei ist ${}q\neq 0$, da sonst die Kurve reduzibel wäre. Daher können wir durch eine Variablentransformation in ${}y,z$ annehmen, dass sowohl ${}y^{4}$ als auch ${}z^{4}$ in ${}q$ und damit in ${}F$ nichttrivial vorkommen. Somit sind ${}(x,y)$ und ${}(x,z)$ Parameter. Wir schreiben ${}p=ry^{2}+sz^{2}$ und ${}q=ty^{2}+uz^{3}$.

Wir multiplizieren die Gleichung mit ${}z$ und erhalten aus

$x^{3}z^{2}+xzp+zq=0,$

dass

$(z^{2},sx+uz,rxz+tz)$

ein globaler Schnitt

${\mathcal {O}}_{Y}\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{3},z^{3},y^{2}\right)}(5)$

ist. Dieser Schnitt hat eine Nullstelle in einem Punkt ${}P$ der Kurve genau dann, wenn die Koordinaten des Punktes ${}z=0$ und

${}sx=0\,$

ist. Bei

${}x=0\,$

wäre auch ${}y=0$, das kann nicht sein. Also ist bei ${}s\neq 0$ der Schnitt nullstellenfrei. D.h. wir haben in diesem Fall eine kurze exakte Sequenz aus lokal freien Garben

$0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{Y}\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{3},z^{3},y^{2}\right)}(5)\longrightarrow {\mathcal {M}}\longrightarrow 0,$

wobei ${}{\mathcal {M}}$ den Grad ${}8$ besitzt. Wir tensorieren mit ${}{\mathcal {O}}_{Y}(-1)$ und erhalten

$0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{Y}(-1)\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{3},z^{3},y^{2}\right)}(4)\longrightarrow {\mathcal {M}}(-1)\cong {\mathcal {O}}_{Y}(1)\longrightarrow 0.$

Die Kohomologieklasse ${}{\frac {z^{3}}{xy}}$ rechts rührt von einer Klasse im Syzygienbündel her. Kommt nicht von links her. Im Frobeniusabschluss? ${}x^{2}z^{2}$.

Es sei nun ${}s=0$. Dann ist

$(z,u,rx+t)$

ein globaler Schnitt

${\mathcal {O}}_{Y}\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{3},z^{3},y^{2}\right)}(4).$

Aus ${}z=0$ folgt

${}y^{3}(\alpha x+\beta y)=0\,.$

Aus ${}y=0$ folgt ${}u=r=t=0$, es liegt also eine Nullstelle in ${}(1,0,0)$ vor. Zur Bestimmung der Vielfachheit arbeiten wir mit affinen Koordinaten, wir betrachten die affine Kurvengleichung

${}z+p(y,z)+q(y,z)=0\,.$

Daraus folgt, dass ${}y$ ein lokaler Parameter in ${}P$ ist und dass ${}z$ die Ordnung ${}2$ besitzt. Dann hat ${}u$ auch die Ordnung ${}1$ (?)

Wir erhalten eine destabilisierende kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow {\mathcal {O}}(P)\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{3},y^{3},z^{2}\right)}(4)\longrightarrow {\mathcal {O}}(-P)\longrightarrow 0.$

Wir tensorieren mit ${}{\mathcal {O}}_{Y}(1)$, dadurch werden beide Seiten positiv und alles vom Grad ${}\geq 5$ liegt im tight closure. Es ist

$F=x^{3}z+rxy^{2}+q(y,z)\in (x^{3},z^{3},y^{2}).$

Daher ist ${}x^{2}yz^{2}\notin (x^{3},z^{3},y^{2})$ modulo ${}F$, da dies sonst auch im Polynomring gelten würde.