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Ebene monomiale Kurve/Teilerfremd/Differentialmodul/Fakt/Beweis
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Ebene monomiale Kurve/Teilerfremd/Differentialmodul/Fakt
Beweis
Die erste Aussage folgt aus
Fakt
. Es ist
0
=
X
Y
(
a
X
a
−
1
d
X
−
b
Y
b
−
1
d
Y
)
=
a
Y
X
a
d
X
−
b
X
Y
b
d
Y
=
a
Y
Y
b
d
X
−
b
X
Y
b
d
Y
=
Y
b
(
a
Y
d
X
−
b
X
d
Y
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}0&=XY{\left(aX^{a-1}dX-bY^{b-1}dY\right)}\\&=aYX^{a}dX-bXY^{b}dY\\&=aYY^{b}dX-bXY^{b}dY\\&=Y^{b}(aYdX-bXdY).\end{aligned}}}
Es ist daher auch
(
a
Y
d
X
−
b
X
d
Y
)
a
+
b
=
(
a
Y
d
X
−
b
X
d
Y
)
a
+
b
−
1
⋅
(
a
Y
d
X
−
b
X
d
Y
)
=
(
Y
b
F
+
X
a
G
)
⋅
(
a
Y
d
X
−
b
X
d
Y
)
=
0.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}(aYdX-bXdY)^{a+b}&=(aYdX-bXdY)^{a+b-1}\cdot (aYdX-bXdY)\\&={\left(Y^{b}F+X^{a}G\right)}\cdot (aYdX-bXdY)\\&=0.\end{aligned}}}
Zur bewiesenen Aussage
