Ebene monomiale Kurven/Multiplizität ist kleinerer Exponent/Fakt/Beweis

Beweis

Gleichheit der Exponenten ist nur bei ${}e_{1}=e_{2}=1$ möglich, wo die Aussage klar ist. Es sei also ohne Einschränkung ${}d=e_{1}>e_{2}=m$. Dann ist die homogene Zerlegung der Kurvengleichung ${}F$ einfach ${}F=X^{d}-Y^{m}$, und die Aussagen über den Nullpunkt folgen. Die partiellen Ableitungen sind $dX^{d-1}$ und $mY^{m-1}$, die nur im Nullpunkt verschwinden können, an allen anderen Punkten nicht, da (selbst bei positiver Charakteristik) nicht sowohl ${}d$ als auch ${}m$ in ${}K$ null sein können.

Zur bewiesenen Aussage