Ebene ohne Kreis/Radius 3/Von (5,0) nach (-5,0)/Linear und stetig/Aufgabe/Lösung


a) Wir betrachten die (obere) Tangente an den Kreis durch . Es sei der Schnittpunkt des Kreises mit dieser Tangente. Diese steht senkrecht auf dem Ortsvektor zu . Nach dem Satz des Pythagoras, angewendet auf das rechtwinklige Dreieck , besitzt die Verbindungsstrecke von nach die Länge . Es sei der Schnittpunkt der Tangente mit der -Achse. Wir betrachten das (rechtwinklige) Dreieck . Der Winkel dieses Dreiecks an stimmt mit dem Winkel des zuerst betrachteten Dreiecks an überein. Daher sind die beiden Dreiecke ähnlich (d.h. es gelten die gleichen Längenverhältnisse) und daher besteht, wenn die Länge von nach bezeichnet, die Beziehung

Also ist . Daher ist die Strecke von nach gleich

Man kann also auf dieser Tangente von nach und von dort mit der gespiegelten Tangente von nach gelangen und legt dabei einen Weg der Länge zurück.

b) Die Person bewegt sich nun von nach längs der Tangenten, folgt dann dem Kreis bis zu dem gegenüberliegenden Punkt und läuft dann längs der gespiegelten Tangenten von nach . Dieser Weg ist offenbar stetig. Es sei der Winkel des Dreiecks an . In diesem rechtwinkligen Dreieck besteht die Beziehung („Gegenkathete durch Hypotenuse“)

Daher ist im Bogenmaß. Wie unter a) bemerkt, tritt dieser Winkel auch im Dreieck an auf und beschreibt daher den Winkel, der den zugehörigen Kreisbogen bestimmt, entlang dem sich die Person bewegt. Da der Radius ist, ist der zugehörige Bogen maximal gleich

Daher ist die Gesamtlänge dieses Weges gleich