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Ebene projektive Kurve/Graph einer rationalen Funktion/Abschluss/Projektive Parametrisierung/Probe/Erster Fall/Aufgabe/Lösung
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Ebene projektive Kurve/Graph einer rationalen Funktion/Abschluss/Projektive Parametrisierung/Probe/Erster Fall/Aufgabe
Es ist einerseits
H
^
(
X
,
Z
)
Y
Z
d
−
e
−
1
=
H
^
(
H
^
(
x
,
y
)
x
y
d
−
e
−
1
,
H
^
(
x
,
y
)
y
d
−
e
)
⋅
G
^
(
x
,
y
)
⋅
(
H
^
(
x
,
y
)
y
d
−
e
)
d
−
e
−
1
=
(
H
^
(
x
,
y
)
)
e
y
e
(
d
−
e
−
1
)
H
^
(
x
,
y
)
⋅
G
^
(
x
,
y
)
⋅
(
H
^
(
x
,
y
)
)
d
−
e
−
1
y
(
d
−
e
)
(
d
−
e
−
1
)
=
(
H
^
(
x
,
y
)
)
d
⋅
G
^
(
x
,
y
)
⋅
y
d
(
d
−
e
−
1
)
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\hat {H}}(X,Z)YZ^{d-e-1}&={\hat {H}}{\left({\hat {H}}(x,y)xy^{d-e-1},{\hat {H}}(x,y)y^{d-e}\right)}\cdot {\hat {G}}(x,y)\cdot {\left({\hat {H}}(x,y)y^{d-e}\right)}^{d-e-1}\\&={\left({\hat {H}}(x,y)\right)}^{e}y^{e(d-e-1)}{\hat {H}}(x,y)\cdot {\hat {G}}(x,y)\cdot {\left({\hat {H}}(x,y)\right)}^{d-e-1}y^{(d-e)(d-e-1)}\\&={\left({\hat {H}}(x,y)\right)}^{d}\cdot {\hat {G}}(x,y)\cdot y^{d(d-e-1)}\end{aligned}}}
und andererseits ebenso
G
^
(
X
,
Z
)
=
G
^
(
H
^
(
x
,
y
)
x
y
d
−
e
−
1
,
H
^
(
x
,
y
)
y
d
−
e
)
=
(
H
^
(
x
,
y
)
)
d
⋅
y
d
(
d
−
e
−
1
)
⋅
G
^
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\hat {G}}(X,Z)&={\hat {G}}{\left({\hat {H}}(x,y)xy^{d-e-1},{\hat {H}}(x,y)y^{d-e}\right)}\\&={\left({\hat {H}}(x,y)\right)}^{d}\cdot y^{d(d-e-1)}\cdot {\hat {G}}(x,y).\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe