Ebenen im Raum/Gleichungen 4x-2y-3z ist 5 3x-5y+2z ist 1/Schnittgerade/Beispiel

Zwei Ebenen im Raum, die sich in einer Geraden schneiden.

Im ${}\mathbb {R} ^{3}$ seien zwei Ebenen

${}E={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 4x-2y-3z=5\right\}}\,$

und

${}F={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 3x-5y+2z=1\right\}}\,$

gegeben. Wie kann man die Schnittgerade ${}G=E\cap F$ beschreiben? Ein Punkt ${}P=(x,y,z)$ liegt genau dann auf der Schnittgerade, wenn er die beiden Ebenengleichungen erfüllt; es muss also sowohl

$4x-2y-3z=5\,\,{\text{ als auch }}\,\,3x-5y+2z=1$

gelten. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit ${}3$ und ziehen davon das ${}4$-fache der zweiten Gleichung ab und erhalten

${}14y-17z=11\,.$

Wenn man ${}y=0$ setzt, so muss ${}z=-{\frac {11}{17}}$ und ${}x={\frac {13}{17}}$ sein. D.h. der Punkt ${}P=\left({\frac {13}{17}},\,0,\,-{\frac {11}{17}}\right)$ gehört zu ${}G$. Ebenso findet man, indem man ${}z=0$ setzt, den Punkt ${}Q=\left({\frac {23}{14}},\,{\frac {11}{14}},\,0\right)$. Damit ist die Schnittgerade die Verbindungsgerade dieser Punkte, also

${}G={\left\{\left({\frac {13}{17}},\,0,\,-{\frac {11}{17}}\right)+t\left({\frac {209}{238}},\,{\frac {11}{14}},\,{\frac {11}{17}}\right)\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,.$