Eigentheorie/Endomorphismus/Unter Isomorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Es sei ${}v\in V$ ein Eigenvektor zu ${}\varphi$ zum Eigenwert ${}a$. Sei

${}w:=f(v)\,.$

Dann ist

${}\psi (w)=(f\circ \varphi \circ f^{-1})(f(v))=(f\circ \varphi )(v)=f(\varphi (v))=f(av)=af(v)=aw\,.$

Die Umkehrung gilt genauso. (2) und (3) folgen direkt aus (1).

Zur bewiesenen Aussage