Eigentliche Bewegungsgruppe/Endlich/Drei Halbachsenklassen/Operation injektiv/Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit drei Halbachsenklassen und es sei ${}K$ eine davon. Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(K),\,g\longmapsto \sigma _{g}:H\mapsto g(H),

injektiv ist. Zeige, dass dies nicht stimmt, wenn es nur zwei Halbachsenklassen gibt.