Eigentliche Bewegungsgruppe/Endliche Untergruppe/Halbachsenoperation/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${}\mathbb {R} ^{3}$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für zwei äquivalente Halbachsen ${}H_{1}$ und ${}H_{2}$ sind die Isotropiegruppen ${}G_{H_{1}}={\left\{g\in G\mid g(H_{1})=H_{1}\right\}}$ und ${}G_{H_{2}}={\left\{g\in G\mid g(H_{2})=H_{2}\right\}}$ isomorph.
2. Zu einer Halbachse ${}H$ aus der Halbachsenklasse ${}K$ ist

   ${}{\#\left(G\right)}={\#\left(K\right)}\cdot {\#\left(G_{H}\right)}\,.$

3. Zu einer Halbachsenklasse ${}K$ ist die Abbildung

   $G\longrightarrow \operatorname {Perm} (K),\,g\longmapsto {\left(\sigma _{g}:H\mapsto g(H)\right)},$

   ein Gruppenhomomorphismus, dessen Kern die Isotropiegruppe ist.

4. Die Isotropiegruppen zu einer Halbachse ${}H$ und der gegenüberliegenden Halbachse ${}-H$ sind isomorph.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen