Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Äquivalente Halbachsen/Isomorphe Isotropiegruppen/Fakt

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${}\mathbb {R} ^{3}$ . Zu einer Halbachse ${}H$ von ${}G$ sei

{}G_{H}={\left\{g\in G\mid g(H)=H\right\}}\,.

Dann sind für zwei äquivalente Halbachsen ${}H_{1}$ und ${}H_{2}$ die Gruppen ${}G_{H_{1}}$ und ${}G_{H_{2}}$ isomorph.

Insbesondere besitzen sie die gleiche Ordnung.