Für zwei gegenüberliegende Halbachsen
und
gilt
.
Dagegen gilt für zwei Halbachsen
und
,
die nicht zur gleichen Achse gehören
(also insbesondere verschieden sind),
die Beziehung
,
da eine Isometrie mit zwei Fixachsen die Identität sein muss. Da
die Vereinigung aller
, ist, liegt eine Vereinigung
-
![{\displaystyle {}G\setminus \{\operatorname {Id} \}=\bigcup _{H\in {\mathfrak {H}}(G)}{\left(G_{H}\setminus \{\operatorname {Id} \}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b2b5e4702308e783d7061834744dc8f94d7414)
vor, wobei rechts jedes Gruppenelement
genau zweimal vorkommt. Daher ist
-
![{\displaystyle {}2(n-1)=\sum _{H\in {\mathfrak {H}}(G)}{\left(\operatorname {ord} \,(G_{H})-1\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5531d42999cfc482f622777049e1555bfe10eac3)
Die Halbachsenklasse
enthält
Elemente. Daher ist
-
![{\displaystyle {}2(n-1)=\sum _{H\in {\mathfrak {H}}(G)}{\left(\operatorname {ord} \,(G_{H})-1\right)}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{H\in K_{i}}(n_{i}-1)=\sum _{i=1}^{m}{\frac {n}{n_{i}}}(n_{i}-1)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e94a065005d018394acb7abc4c995b760947be)
Mittels Division durch
ergibt sich die Behauptung.