Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Numerische Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Für zwei gegenüberliegende Halbachsen ${}H$ und ${}-H$ gilt ${}G_{H}=G_{-H}$. Dagegen gilt für zwei Halbachsen ${}H_{1}$ und ${}H_{2}$, die nicht zur gleichen Achse gehören (also insbesondere verschieden sind), die Beziehung ${}G_{H_{1}}\cap G_{H_{2}}=\operatorname {Id}$, da eine Isometrie mit zwei Fixachsen die Identität sein muss. Da ${}G$ die Vereinigung aller $G_{H},\,H\in {\mathfrak {H}}(G)$, ist, liegt eine Vereinigung

${}G\setminus \{\operatorname {Id} \}=\bigcup _{H\in {\mathfrak {H}}(G)}{\left(G_{H}\setminus \{\operatorname {Id} \}\right)}\,$

vor, wobei rechts jedes Gruppenelement ${}g\neq \operatorname {Id}$ genau zweimal vorkommt. Daher ist

${}2(n-1)=\sum _{H\in {\mathfrak {H}}(G)}{\left(\operatorname {ord} \,(G_{H})-1\right)}\,.$

Die Halbachsenklasse ${}K_{i}$ enthält ${}n/n_{i}$ Elemente. Daher ist

${}2(n-1)=\sum _{H\in {\mathfrak {H}}(G)}{\left(\operatorname {ord} \,(G_{H})-1\right)}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{H\in K_{i}}(n_{i}-1)=\sum _{i=1}^{m}{\frac {n}{n_{i}}}(n_{i}-1)\,.$

Mittels Division durch ${}n$ ergibt sich die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage