Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Numerische Eigenschaften/Möglichkeiten/Fakt/Beweis

Beweis

Bei ${}m=0$ ist die rechte Seite ${}0$ und daher folgt ${}n=1<2$ aus der linken Seite. Bei ${}m=1$ muss ${}n_{1}={\frac {n}{-n+2}}$ gelten, was bei ${}n\geq 2$ keine Lösung besitzt. Bei ${}m=2$ erhält man die Bedingung ${}{\frac {2}{n}}={\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}$, woraus sich wegen ${}n_{1},n_{2}\leq n$ nach Aufgabe ${}n_{1}=n_{2}=n$ ergibt. Bei ${}m=3$ schreibt sich die Bedingung als

${}1+{\frac {2}{n}}={\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}+{\frac {1}{n_{3}}}\,$

mit ${}n_{1}\leq n_{2}\leq n_{3}$. Die linke Seite ist ${}>1$. Daher muss wegen ${}n_{i}\geq 2$ mindestens eines der ${}n_{i}=2$ sein. Es sei also ${}n_{1}=2$. Bei ${}n_{2}=2$ gibt es genau die Lösung ${}n=2n_{3}$ mit beliebigem ${}n_{3}\geq 2$. Es sei also ${}n_{2}\geq 3$. Bei ${}n_{2}=4$. wäre die rechte Seite wieder ${}\leq 1$, sodass ${}n_{2}=3$ gelten muss. Der Wert ${}n_{3}=3$ führt zur Lösung ${}n=12$, der Wert ${}n_{3}=4$ führt zur Lösung ${}n=24$ und der Wert ${}n_{3}=5$ führt zur Lösung ${}n=60$. Bei ${}n_{3}\geq 6$ wird die rechte Seite wieder ${}\leq 1$, sodass es keine weitere Lösung gibt.
 Bei ${}m\geq 4$ hat man eine Bedingung der Form

${}m-2+{\frac {2}{n}}={\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}+{\frac {1}{n_{3}}}+{\frac {1}{n_{4}}}+\cdots +{\frac {1}{n_{m}}}\,,$

die keine Lösung besitzt, da die rechte Seite ${}\leq m-2$ ist, da die ersten vier Summanden maximal ${}2$ ergeben und die weiteren durch ${}m-4$ abgeschätzt werden können.

Zur bewiesenen Aussage