Bei
ist die rechte Seite
und daher folgt
aus der linken Seite. Bei
muss
gelten, was bei
keine Lösung besitzt. Bei
erhält man die Bedingung
,
woraus sich wegen
nach
Aufgabe
ergibt. Bei
schreibt sich die Bedingung als
-
![{\displaystyle {}1+{\frac {2}{n}}={\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}+{\frac {1}{n_{3}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e9d57fae327d730e352f8040a420f11d66d3ef)
mit
.
Die linke Seite ist
. Daher muss wegen
mindestens eines der
sein. Es sei also
.
Bei
gibt es genau die Lösung
mit beliebigem
.
Es sei also
. Bei
.
wäre die rechte Seite wieder
, so dass
gelten muss. Der Wert
führt zur Lösung
,
der Wert
führt zur Lösung
und der Wert
führt zur Lösung
.
Bei
wird die rechte Seite wieder
, so dass es keine weitere Lösung gibt.
Bei
hat man eine Bedingung der Form
-
![{\displaystyle {}m-2+{\frac {2}{n}}={\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}+{\frac {1}{n_{3}}}+{\frac {1}{n_{4}}}+\cdots +{\frac {1}{n_{m}}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91baa92278c4bad795adb867af068ef38db2b5f6)
die keine Lösung besitzt, da die rechte Seite
ist, da die ersten vier Summanden maximal
ergeben und die weiteren durch
abgeschätzt werden können.