a) Das charakteristische Polynom ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\chi _{A}&=\det {\begin{pmatrix}x-2&-1&2-{\mathrm {i} }\\0&x-{\mathrm {i} }&-1-{\mathrm {i} }\\0&0&x+1-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\\&=(x-2)(x-{\mathrm {i} })(x+1-2{\mathrm {i} })\\&=x^{3}-(1+3{\mathrm {i} })x^{2}+(2{\mathrm {i} }-2(1-2{\mathrm {i} })-{\mathrm {i} }(1-2{\mathrm {i} }))x+2{\mathrm {i} }(1-2{\mathrm {i} })\\&=x^{3}-(1+3{\mathrm {i} })x^{2}+(-4+5{\mathrm {i} })x+4+2{\mathrm {i} }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d60dc2bc66120649205b4a580b7e334c813200b)
und die Eigenwerte von
sind
.
b) Wir bestimmen für jeden Eigenwert einen Eigenvektor.
:
Wir müssen ein nichttriviales Element im Kern von
-
bestimmen. Da gehört
dazu.
:
Dies führt auf
-
Wir wählen
und
und erhalten
, also ist
-
ein Eigenvektor zum Eigenwert
.
:
Dies führt auf
-
Mit
und
ist die mittlere Zeile erfüllt. Die erste Zeile wird dann zu
-
und daher ist
-
![{\displaystyle {}(-3+2{\mathrm {i} })a=1+{\mathrm {i} }-(2-{\mathrm {i} })(-1+{\mathrm {i} })=1+{\mathrm {i} }-2{\mathrm {i} }+2-1-{\mathrm {i} }=2-2{\mathrm {i} }\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d42d59c4acdc0125bb97974ef1e41eaea3119ffe)
Daher ist
-
![{\displaystyle {}a=(2-2{\mathrm {i} })(-3+2{\mathrm {i} })^{-1}=(2-2{\mathrm {i} }){\frac {-3-2{\mathrm {i} }}{13}}={\frac {-10+2{\mathrm {i} }}{13}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7591143fbad73c9c7769bbc9c5aa435f6d28ecba)
Somit ist
-
ein Eigenvektor zum Eigenwert
![{\displaystyle {}-1+2{\mathrm {i} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e7013226c713d09e946e14a148068cdc85f7ed3)
.
c) Bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren besitzt die beschreibende Matrix die Gestalt
-