Eigenwerte und Eigenräume/Diagonalisierbarkeit in Abhängigkeit vom Grundkörper/Aufgabe

Betrachte die Matrix ${}A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&2\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{2\times 2}({\mathbb {K} })$ . Untersuche ob ${}A$ diagonalisierbar ist in Abhängigkeit von ${}{\mathbb {K} }$ (d.h., ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ oder ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ ). Falls ja, so gebe eine invertierbare Matrix ${}C$ und eine Diagonalmatrix ${}D$ mit ${}D=C^{-1}AC$ an.