Eindimensionale Mannigfaltigkeiten/R, 1-Sphäre, R punktiert/Nicht homöomorph/Aufgabe/Lösung

Als abgeschlossene beschränkte Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist der Einheitskreis kompakt (Satz von Heine-Borel). Die reelle Gerade ${}\mathbb {R}$ und ${}\mathbb {R} \setminus \{0\}$ sind hingegen nicht kompakt, da sie unbeschränkte Teilmengen von ${}\mathbb {R}$ sind. Also ist ${}S^{1}\not \cong \mathbb {R} ,\,\mathbb {R} \setminus \{0\}$.

Die reelle Gerade ist zusammenhängend, wie aus dem Zwischenwertsatz folgt. Dagegen ist ${}\mathbb {R} \setminus \{0\}$ nicht zusammenhängend, da man

${}\mathbb {R} _{+}=(\mathbb {R} \setminus \{0\})\cap [0,\infty ]=(\mathbb {R} \setminus \{0\})\cap \,]0,\infty ]\,$

schreiben kann, sodass man eine sowohl offene als auch abgeschlossene nichtleere Teilmenge erhält. Also ist ${}\mathbb {R} \,\not \cong \mathbb {R} \setminus \{0\}$.

Zur gelösten Aufgabe