Einheitsintervall/Bijektiv/Nicht rektifizierbar/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Funktion

$\varphi (x)={\begin{cases}x,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} \,,\\1-x,{\text{ falls }}x\not \in \mathbb {Q} \,,\end{cases}}$

die offenbar bijektiv ist. Um zu zeigen, dass ${}\varphi$ nicht rektifizierbar ist, wählen wir zu ${}n\in \mathbb {N}$ irrationale Zahlen ${}x_{i}$, ${}1\leq i\leq n$, mit

$0<x_{1}<{\frac {1}{n}}<x_{2}<{\frac {2}{n}}<x_{3}<{\frac {3}{n}}<\cdots <{\frac {n-2}{n}}<x_{n-1}<{\frac {n-1}{n}}<x_{n}<1.$

All diese Zahlen nehmen wir als Intervallunterteilung. Für ${}n=3k$ ist die Summe der Länge der Abstände der Bildpunkte mindestens

${}\varphi (x_{1})-{\frac {1}{n}}+\varphi (x_{2})-{\frac {2}{n}}+\varphi (x_{3})-{\frac {3}{n}}+\cdots +\varphi (x_{k-1})-{\frac {k-1}{n}}+\varphi (x_{k})-{\frac {k}{n}}\geq k{\frac {1}{3}}\,,$

da ja in diesem Bereich

${}\varphi (x_{i})=1-x_{i}\geq {\frac {2}{3}}\,$

gilt. Da ${}k$ beliebig groß gewählt werden kann, ist das Supremum über alle Streckenzuglängen unendlich und die Kurve ist nicht rektifizierbar.

Zur gelösten Aufgabe