Einheitskreis/Gerade/1/Aufgabe/Lösung

Der Einheitskreis ist durch

${}x^{2}+y^{2}=1\,$

gegeben. Darin setzen wir

${}y=3x-2\,$

ein und erhalten

${}x^{2}+(3x-2)^{2}=10x^{2}-12x+4=1\,.$

Also ist

${}x^{2}-{\frac {6}{5}}x+{\frac {3}{10}}=0\,$

und damit

${}{\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {{\frac {6}{5}}\pm {\sqrt {{\left({\frac {6}{5}}\right)}^{2}-4\cdot {\frac {3}{10}}}}}{2}}\\&={\frac {{\frac {6}{5}}\pm {\sqrt {{\frac {36}{25}}-{\frac {6}{5}}}}}{2}}\\&={\frac {{\frac {6}{5}}\pm {\frac {1}{5}}{\sqrt {6}}}{2}}\\&={\frac {6\pm {\sqrt {6}}}{10}}.\end{aligned}}$

Somit ist

${}{\begin{aligned}y_{1,2}&=3\cdot {\frac {6\pm {\sqrt {6}}}{10}}-2\\&={\frac {-2\pm 3{\sqrt {6}}}{10}}.\end{aligned}}$

Die Schnittpunkte sind also

${}\left({\frac {6+{\sqrt {6}}}{10}},\,{\frac {-2+3{\sqrt {6}}}{10}}\right)$ und ${}\left({\frac {6-{\sqrt {6}}}{10}},\,{\frac {-2-3{\sqrt {6}}}{10}}\right)$.

Zur gelösten Aufgabe