Einheitskreis/Konstante Geschwindigkeit/Kreis mit gleicher bis zweiten Ableitung/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}\gamma (0)={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\,,$

${}\gamma '(0)={\begin{pmatrix}0\\\omega \end{pmatrix}}\,$

und

${}\gamma ^{\prime \prime }(0)={\begin{pmatrix}-\omega ^{2}\\0\end{pmatrix}}\,.$

Eine Kreisbewegung, die mit der vorgegebenen Bewegung für ${}t=0$ bis zur zweiten Ableitung übereinstimmt, muss insbesondere die gleiche Tangente in diesem Punkt haben. Daher muss der Kreismittelpunkt auf der ${}x$-Achse liegen. Ferner muss er links von ${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ liegen, da die Beschleunigung nach links wirkt. Wir können daher eine gesuchte uniforme Kreisbewegung mit dem Mittelpunkt ${}{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}$ (${}x<1$) und dem Radius ${}1-x$ als

${}\delta (t)={\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}+(1-x){\begin{pmatrix}\cos \left(ut\right)\\\sin \left(ut\right)\end{pmatrix}}\,$

ansetzen. Es ist

${}\delta (0)=\gamma (0)\,.$

Ferner ist

${}\delta '(0)=(1-x){\begin{pmatrix}0\\u\end{pmatrix}}\,$

und

${}\delta ^{\prime \prime }(0)=(1-x){\begin{pmatrix}-u^{2}\\0\end{pmatrix}}\,.$

Wenn die geforderten Bedingungen also erfüllt sein sollen, muss

${}\omega =(1-x)u\,$

und

${}\omega ^{2}=(1-x)u^{2}\,$

gelten. Dies ergibt

${}\omega ^{2}=\omega u\,$

und somit

${}u=\omega \,$

und

${}x=0\,.$

Zur gelösten Aufgabe