Einheitskreis/Kreislänge/Halbierung/Programm/Aufgabe

Wir betrachten den Einheitskreis, also

${}{\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,.$

Wir setzen ${}P_{0}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und ${}P_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ und definieren rekursiv die Folge ${}P_{n}$ (in der Ebene) durch

${}Q_{n}={\frac {1}{2}}{\left(P_{0}+P_{n-1}\right)}\,$

(d.h. ${}Q_{n}$ ist der Halbierungspunkt der Strecke zwischen ${}P_{0}$ und ${}P_{n-1}$) und ${}P_{n}$ ist der Durchstoßungspunkt der Halbgeraden durch ${}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$ und ${}Q_{n}$ mit dem Kreisbogen. Wir betrachten die Längen ${}d_{n}=d(P_{0},P_{n})$ als eine Approximation der Länge des Kreisbogens zwischen ${}P_{0}$ und ${}P_{n}$ und somit

${}x_{n}=2^{n}d_{n}\,$

als eine Approximation der Länge des halben Kreisbogens (also von ${}\pi$). Da in der Berechnung der Punkte ${}P_{n}$ und der Längen ${}d_{n}$ Quadratwurzeln (Satz des Pythagoras) auftreten, können diese nur mit einem bestimmten Fehler durch rationale Zahlen approximiert werden.

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das eine Folge ${}y_{n}$ von Approximationen (${}n\geq 1$) für ${}x_{n}$ berechnet und ausdruckt. Bei der Berechnung von ${}y_{n}$ sollen alle Quadratwurzeln, die in die Berechnung von ${}x_{n}$ irgendwo eingehen, mit ${}n$ Schritten mit dem Heronverfahren zum Startwert ${}1$ berechnet werden. Das Programm soll also zunehmend bessere Approximationen für die vorhergehenden Hilfspunkte verwenden, die Berechnung von ${}y_{n}$ erfordert, dass man stets neue, bessere Approximationen für ${}P_{2},\ldots ,P_{n}$ bestimmt.

• Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die rationale Zahlen enthalten können.

• Die natürlichen Zahlen liegen in einer Datenbank bereit (diese müssen also nicht erzeugt werden).

• Er kann einen Speicherinhalt in einen weiteren Speicher schreiben.

• Er kann die rationalen Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division durch eine Zahl ${}\neq 0$) ausführen und das Ergebnis in einen weiteren Speicher schreiben.

• Er kann Speicherinhalte der Größe nach vergleichen und davon abhängig zu Programmzeilen springen.

• Er kann Speicherinhalte und vorgegebene Texte ausdrucken.

Das Programm soll unendlich laufen und die Approximationen ${}y_{1},y_{2},y_{3},...$ ausgeben.

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