Einheitskreis/Kreislänge/Halbierung/Programm/Aufgabe

Pi Berechnung Heron1.png
Pi Berechnung Heron2.png

Wir betrachten den Einheitskreis, also

Wir setzen und und definieren rekursiv die Folge (in der Ebene) durch

(d.h. ist der Halbierungspunkt der Strecke zwischen und ) und ist der Durchstoßungspunkt der Halbgeraden durch und mit dem Kreisbogen. Wir betrachten die Längen als eine Approximation der Länge des Kreisbogens zwischen und und somit

als eine Approximation der Länge des halben Kreisbogens (also von ). Da in der Berechnung der Punkte und der Längen Quadratwurzeln (Satz des Pythagoras) auftreten, können diese nur mit einem bestimmten Fehler durch rationale Zahlen approximiert werden.

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das eine Folge von Approximationen () für berechnet und ausdruckt. Bei der Berechnung von sollen alle Quadratwurzeln, die in die Berechnung von irgendwo eingehen, mit Schritten mit dem Heronverfahren zum Startwert berechnet werden. Das Programm soll also zunehmend bessere Approximationen für die vorhergehenden Hilfspunkte verwenden, die Berechnung von erfordert, dass man stets neue, bessere Approximationen für bestimmt.

    • Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die rationale Zahlen enthalten können.
    • Die natürlichen Zahlen liegen in einer Datenbank bereit (diese müssen also nicht erzeugt werden).
    • Er kann einen Speicherinhalt in einen weiteren Speicher schreiben.
    • Er kann die rationalen Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division durch eine Zahl ) ausführen und das Ergebnis in einen weiteren Speicher schreiben.
    • Er kann Speicherinhalte der Größe nach vergleichen und davon abhängig zu Programmzeilen springen.
    • Er kann Speicherinhalte und vorgegebene Texte ausdrucken.
    Das Programm soll unendlich laufen und die Approximationen ausgeben.