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Einheitskreis/Obere Halbebene/Rational isomorph/Reelle partielle Ableitungen/Aufgabe/Lösung
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Einheitskreis/Obere Halbebene/Rational isomorph/Reelle partielle Ableitungen/Aufgabe
Die partiellen Ableitungen von
ψ
(
a
b
)
=
1
−
2
a
+
1
+
a
2
+
b
2
(
−
2
b
1
−
a
2
−
b
2
)
{\displaystyle {}\psi {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\frac {1}{-2a+1+a^{2}+b^{2}}}{\begin{pmatrix}-2b\\1-a^{2}-b^{2}\end{pmatrix}}\,}
sind
∂
ψ
∂
a
=
1
(
−
2
a
+
1
+
a
2
+
b
2
)
2
(
2
b
(
2
a
−
2
)
−
2
a
(
−
2
a
+
1
+
a
2
+
b
2
)
−
(
1
−
a
2
−
b
2
)
(
−
2
+
2
a
)
)
=
1
(
−
2
a
+
1
+
a
2
+
b
2
)
2
(
2
b
(
2
a
−
2
)
4
a
2
−
4
a
+
2
(
1
−
a
2
−
b
2
)
)
=
1
(
−
2
a
+
1
+
a
2
+
b
2
)
2
(
4
a
b
−
4
b
2
a
2
−
4
a
+
2
−
2
b
2
)
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {\partial \psi }{\partial a}}&={\frac {1}{{\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}2b{\left(2a-2\right)}\\-2a{\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}-{\left(1-a^{2}-b^{2}\right)}{\left(-2+2a\right)}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{{\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}2b{\left(2a-2\right)}\\4a^{2}-4a+2{\left(1-a^{2}-b^{2}\right)}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{{\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}4ab-4b\\2a^{2}-4a+2-2b^{2}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
und
∂
ψ
∂
b
=
1
(
−
2
a
+
1
+
a
2
+
b
2
)
2
(
−
2
(
−
2
a
+
1
+
a
2
+
b
2
)
+
4
b
2
−
2
b
(
−
2
a
+
1
+
a
2
+
b
2
)
−
2
b
(
1
−
a
2
−
b
2
)
)
=
1
(
−
2
a
+
1
+
a
2
+
b
2
)
2
(
4
a
−
2
−
2
a
2
+
2
b
2
4
a
b
−
4
b
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {\partial \psi }{\partial b}}&={\frac {1}{{\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}-2{\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}+4b^{2}\\-2b{\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}-2b{\left(1-a^{2}-b^{2}\right)}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{{\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}4a-2-2a^{2}+2b^{2}\\4ab-4b\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe
