Einheitskreis/R/Möbiusband/Ideal/Beispiel

Wir betrachten den kommutativen Ring ${}R=\mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)$, der dem Einheitskreis in dem Sinne entspricht, dass die Primideale der Form ${}(X-a,Y-b)$ darin den reellen Punkten des Kreis entsprechen. Dies ist ein Dedekindbereich, wobei die Normalität aus der Glattheit des Kreises folgt.

Das Möbiusband.

Das Ideal ${}{\mathfrak {p}}=(X,Y-1)$ ist ein Primideal darin, das kein Hauptideal ist. Für das Produkt dieses Ideals mit sich selbst haben wir

${}(X,Y-1)^{2}=(X^{2},XY-X,(Y-1)^{2})=(Y-1)\,,$

wobei die Inklusion ${}\subseteq$ klar ist und sich die andere Inklusion aus

${}{\frac {1}{2}}{\left(-X^{2}-(Y-1)^{2}\right)}={\frac {1}{2}}{\left(-1+Y^{2}-(Y-1)^{2}\right)}=Y-1\,$

ergibt. Da ${}Y-1$ in ${}R$ keine Quadratwurzel (und auch nicht multipliziert mit einer Einheit) besitzt, ist ${}{\mathfrak {p}}$ kein Hauptideal. Dieses Ideal ist eine algebraische Realisierung des Möbiusbandes (ein Ideal definiert eine invertierbare Garbe und ein Geradenbündel; das Möbiusband ist das nichttriviale Geradenbündel auf dem Einheitskreis).

Wir betrachten den Ringhomomorphismus

$R=\mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)\longrightarrow S=\mathbb {R} [U,V]/(U^{2}+V^{2}-1),\,(X,Y)\longmapsto (U^{2}-V^{2},2UV),$

des Ringes in sich (wir schreiben rechts ${}S$, um die unterschiedlichen Rollen zu betonen). Wegen

${}X^{2}+Y^{2}=(U^{2}-V^{2})^{2}+(2UV)^{2}=U^{4}-2U^{2}V^{2}+V^{4}+4U^{2}V^{2}=U^{4}+2U^{2}V^{2}+V^{4}=(U^{2}+V^{2})^{2}=1\,$

ist dies wohldefiniert (es handelt sich um die komplexe Quadrierung eingeschränkt auf den Einheitskreis). Es handelt sich um eine ganze Ringerweiterung. Das Erweiterungsideal zu ${}(X,Y-1)$ ist

${}(U^{2}-V^{2},2UV-1)=(1-2V^{2},2UV-1)=(U-V)\,,$

also ein Hauptideal. Dies beruht auf

${}U^{2}-V^{2}=(U+V)(U-V)\,,$

${}2UV-1=2UV-U^{2}-V^{2}=(V-U)(U-V)\,$

und

${}U-V=V{\left(U^{2}-V^{2}\right)}-U{\left(2UV-1\right)}\,.$