Einheitskreis/Rationale Punkte/Dichtheit/Approximation/1/Beispiel

Wenn man einen rationalen Punkt auf dem Einheitskreis sucht, der möglichst nahe an dem irrationalen Punkt ${}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}},\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)$ liegen soll, so kann man

${}t={\frac {\frac {1}{\sqrt {2}}}{1+{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}={\frac {1}{1+{\sqrt {2}}}}=0,414213...\,$

berechnen. Die rationale Approximation

${}t'={\frac {414213}{1000000}}\,$

führt zum rationalen Punkt

$\left({\frac {828427590631}{1171572409369}},\,{\frac {828426000000}{1171572409369}}\right)$

auf dem Einheitskreis und zum pythagoreischen Tripel

${}{\begin{aligned}x&=v^{2}-u^{2}\\&=1000000^{2}-414213^{2}\\&=1000000000000-171572409369\\&=828427590631,\end{aligned}}$

${}y=2\cdot 414213\cdot 1000000=828426000000\,$

und

${}{\begin{aligned}z&=u^{2}+v^{2}\\&=414213^{2}+1000000^{2}\\&=1171572409369.\end{aligned}}$

In der Tat ist

${}{\begin{aligned}828427590631^{2}+828426000000^{2}&=686292272918683718978161+686289637476000000000000\\&=1372581910394683718978161\\&=1171572409369^{2},\,\end{aligned}}$

wie man unmittelbar nachrechnet.