Einheitskreisgleichung/Z mod p/Lösungsanzahl/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}N$ die Anzahl der Lösungen, also

{}N={\#\left({\left\{(x,y)\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\right)}\,.

Dann ist (die Summe und die Mengen bezeihen sich auf ${}\mathbb {Z} /(p)$ )

{}{\begin{aligned}N&=\sum _{a+b=1}{\#\left({\left\{x\mid x^{2}=a\right\}}\right)}\cdot {\#\left({\left\{y\mid y^{2}=b\right\}}\right)}\\&=\sum _{a+b=1}{\left(1+\left({\frac {a}{p}}\right)\right)}\cdot {\left(1+\left({\frac {b}{p}}\right)\right)}\\&=\sum _{a+b=1}{\left(1+\left({\frac {a}{p}}\right)+\left({\frac {b}{p}}\right)+\left({\frac {a}{p}}\right)\cdot \left({\frac {b}{p}}\right)\right)}\\&=\sum _{a+b=1}1+\sum _{a+b=1}\left({\frac {a}{p}}\right)+\sum _{a+b=1}\left({\frac {b}{p}}\right)+\sum _{a+b=1}\left({\frac {a}{p}}\right)\cdot \left({\frac {b}{p}}\right)\\&=p+\sum _{a+b=1}\left({\frac {a}{p}}\right)\cdot \left({\frac {b}{p}}\right),\end{aligned}}

da die beiden mittleren Summanden ${}0$ sind, weil es in ${}\mathbb {Z} /(p)$ gleich viele Quadrate und Nichtquadrate gibt.