a) Der Großkreis ist
-
und die beiden offenen Halbsphären sind
-
bzw.
-
b) Für jede offene Halbkugel
und den zugehörigen Großkreis
ist
. Der maximale Abstand von zwei Punkten
ist
, und dies ist genau dann der Fall, wenn die beiden Punkte gegenüber
(antipodal) liegen, wenn also ihre Verbindungsgerade durch den Kugelmittelpunkt geht
(also bei
). Ein solches antipodale Paar liegt nicht auf einer offenen Halbsphäre, da bei
und
ja
und daher
gilt, also
.
Wir nehmen nun an, dass es eine offene Überdeckung
-
mit drei offenen Halbsphären
gibt
(die entsprechenden Ebenen und Großkreise seien mit
bzw.
bezeichnet).
Wegen
folgt
-
Der Durchschnitt
enthält mindestens zwei antipodale Punkte
und
Dabei ist

. Da

nach der Vorüberlegung kein antipodales Punktepaar enthält, gehört einer dieser Punkte auch nicht zu

und wir haben einen Widerspruch.