Einheitssphäre/Beschreibung von offenen Halbsphären/Nicht von 3 überdeckt/Aufgabe/Lösung


a) Der Großkreis ist

und die beiden offenen Halbsphären sind

bzw.

b) Für jede offene Halbkugel und den zugehörigen Großkreis ist . Der maximale Abstand von zwei Punkten ist , und dies ist genau dann der Fall, wenn die beiden Punkte gegenüber (antipodal) liegen, wenn also ihre Verbindungsgerade durch den Kugelmittelpunkt geht (also bei ). Ein solches antipodale Paar liegt nicht auf einer offenen Halbsphäre, da bei und ja und daher gilt, also .

Wir nehmen nun an, dass es eine offene Überdeckung

mit drei offenen Halbsphären gibt (die entsprechenden Ebenen und Großkreise seien mit bzw. bezeichnet). Wegen folgt

Der Durchschnitt enthält mindestens zwei antipodale Punkte und

Dabei ist . Da nach der Vorüberlegung kein antipodales Punktepaar enthält, gehört einer dieser Punkte auch nicht zu und wir haben einen Widerspruch.