Einheitswurzeln/Eindimensional/Polynomring/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper, der eine ${}r$-te primitive Einheitswurzel ${}\zeta$ besitzt. Wir betrachten die in Beispiel beschriebene Operation von

${}\mathbb {Z} /(r)\cong \mu _{r}{\left(K\right)}\,$

auf ${}K$ durch skalare Multiplikation. Die zugehörige Operation auf dem Polynomring ${}K[X]$ ist dadurch gegeben, dass ${}\zeta ^{i}\in \mu _{r}{\left(K\right)}$ durch ${}X\mapsto \zeta ^{i}X$ wirkt. Somit wird eine Potenz ${}X^{j}$ auf ${}\zeta ^{ij}X^{j}$ abgebildet. Insbesondere ist das Polynom ${}X^{r}$ fix unter dieser Gruppenoperation.