Einheitswurzeln/Endliche kommutative Gruppe/Existenz/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten ${}m$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${}K$ besitzt eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel.
2. Zu jedem Primpotenzteiler ${}p^{r}$ von ${}m$ besitzt ${}K$ eine ${}p^{r}$-te primitive Einheitswurzel.
3. Zu jedem Teiler ${}n$ von ${}m$ besitzt ${}K$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel.
4. Zu jeder Ordnung ${}n$ eines Elementes ${}d\in D$ besitzt ${}K$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel.

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