Einheitswurzeln/Komplex/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Dann heißen die Nullstellen des Polynoms

$X^{n}-1$

in ${}K$ die ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}K$.

Die ${}1$ ist für jedes ${}n$ eine ${}n$-te Einheitswurzel, und die ${}-1$ ist für jedes gerade ${}n$ eine ${}n$-te Einheitswurzel. Es gibt maximal ${}n$ ${}n$-te Einheitswurzeln, da das Polynom ${}X^{n}-1$ maximal ${}n$ Nullstellen besitzt. Die Einheitswurzeln bilden also insbesondere eine endliche Untergruppe (mit ${}x^{n}=1$ und ${}y^{n}=1$ ist auch ${}(xy)^{n}=1$, usw.) der Einheitengruppe des Körpers. Nach Fakt ist diese Gruppe zyklisch mit einer Ordnung, die ${}n$ teilt.

Definition

Eine ${}n$-te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung ${}n$ besitzt.

Man beachte, dass ein Erzeuger der Gruppe der Einheitswurzeln nur dann primitiv heißt, wenn es ${}n$ verschiedene Einheitswurzeln gibt. Wenn ${}\zeta$ eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel ist, so sind genau die ${}\zeta ^{i}$ mit ${}i<n$ und ${}i$ teilerfremd zu ${}n$ die primitiven Einheitswurzeln. Insbesondere gibt es, wenn es überhaupt primitive Einheitswurzeln gibt, genau ${}{\varphi (n)}$ primitive Einheitswurzeln, wobei ${}{\varphi (n)}$ die eulersche ${}\varphi$-Funktion bezeichnet. Die komplexen Einheitswurzeln lassen sich einfach beschreiben.

Lemma

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Die Nullstellen des Polynoms ${}X^{n}-1$ über ${}{\mathbb {C} }$ sind

$e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+{\mathrm {i} }\sin {\frac {2\pi k}{n}},k=0,1,\ldots ,n-1.$

In ${}{\mathbb {C} }[X]$ gilt die Faktorisierung

${}X^{n}-1=(X-1)(X-e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}){\cdots }(X-e^{2\pi {\mathrm {i} }(n-1)/n})\,.$

Beweis

Der Beweis verwendet einige Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion. Es ist

${}{\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}\right)}^{n}=e^{2\pi {\mathrm {i} }k}={\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }}\right)}^{k}=1^{k}=1\,.$

Die angegebenen komplexen Zahlen sind also wirklich Nullstellen des Polynoms ${}X^{n}-1$. Diese Nullstellen sind alle untereinander verschieden, da aus

${}e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}=e^{2\pi {\mathrm {i} }\ell /n}\,$

mit ${}0\leq k\leq \ell \leq n-1$ sofort durch betrachten des Quotienten ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }(\ell -k)/n}=1$ folgt, und daraus

${}\ell -k=0\,.$

Es gibt also ${}n$ explizit angegebene Nullstellen und daher müssen dies alle Nullstellen des Polynoms sein. Die explizite Beschreibung in Koordinaten folgt aus der eulerschen Formel.

$\Box$