Einkaufstupel und Preistupel/Dualität/Motivation/Beispiel

In einem Laden stehen ${}n$ verschiedene Produkte zum Verkauf an. Ein Einkauf wird durch ein ${}n$-Tupel (Einkaufstupel) beschrieben, wobei der ${}i$-te Eintrag angibt, wie viel vom ${}i$-ten Produkt gekauft wird (bezogen auf eine jeweilige Einheit). Die Menge der Einkäufe (einschließlich der Rückgaben) bilden einen ${}n$-dimensionalen Vektorraum. Eine Preisliste für die Produkte wird ebenfalls durch ein ${}n$-Tupel (Preistupel) beschrieben, wobei jetzt der ${}i$-te Eintrag angibt, wie viel das ${}i$-te Produkt kostet (bezogen auf die gleiche Einheit). Die Menge der Preistupel bildet ebenfalls einen ${}n$-dimensionalen Vektorraum (man denke an Preisvergleich, Preissteigerung, Mehrwertsteuer, etc.). Es ist aber offenbar unsinnig, ein Einkaufstupel und ein Preistupel als Elemente im gleichen Vektorraum zu betrachten und miteinander zu addieren. Im Gegenteil, die richtige Verarbeitung eines Einkauftupels ${}\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ und eines Preistupels ${}\left(p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{n}\right)$ ist es, den Gesamtpreis ${}\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}$ zu bestimmen, der zu ${}\mathbb {R}$ gehört. Einkaufstupel und Preistupel sind dual zueinander, der Preistupelvektorraum ist dual zum Einkaufstupelvektorraum.