Einsetzungshomomorphismus/X nach a/Kern und Erzeuger/Aufgabe/Lösung

a) Es ist ${}0\in {\mathfrak {a}}$. Für ${}F,G\in {\mathfrak {a}}$ ist

${}(F+G)(a)=F(a)+G(a)=0+0=0\,,$

also ${}F+G\in {\mathfrak {a}}$. Für ${}F\in {\mathfrak {a}}$ und ${}H\in K[X]$ ist

${}(HF)(a)=H(a)F(a)=H(a)0=0\,,$

also ${}HF\in {\mathfrak {a}}$.

b) Wir behaupten

${}{\mathfrak {a}}=(X-a)\,.$

Das Polynom ${}X-a$ gehört offenbar zu ${}{\mathfrak {a}}$ und damit gehört auch das von ${}X-a$ erzeugte Hauptideal ${}(X-a)$ zu ${}{\mathfrak {a}}$. Es sei umgekehrt ${}F\in {\mathfrak {a}}$. Die Division mit Rest ergibt

${}F=(X-a)Q+R\,,$

wobei ${}R$ konstant ist. Aus ${}F(a)=0$ folgt

${}0=F(a)=(a-a)Q(a)+R(a)=R(a)\,$

und da ${}R$ konstant ist, folgt ${}R=0$.

Also ist ${}F\in (X-a)$.

Zur gelösten Aufgabe