Einssorten/Auswahl/Lucy/Aufgabe/Lösung

1. Es gibt ${}10\cdot 9\cdot 8=720$ Möglichkeiten, da es für die erste Kugel ${}10$, für die nächste ${}9$, da diese von einer anderen Sorte als die erste sein muss, und für die dritte ${}8$ Möglichkeiten.
2. Es geht um die Anzahl der dreielementigen Teilmengen aus der zehnelementigen Eissortenmenge, also gibt es

   ${}{\binom {10}{3}}={\frac {10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}}=120\,$

   Möglichkeiten.

3. Für jede Kugel gibt es zehn Möglichkeiten, die Gesamtzahl ist also

   ${}10^{3}=1000\,.$

4. Wenn sie drei verschiedene Kugeln kauft, so sind das, wie unter (2) berechnet, ${}120$ Möglichkeiten. Wenn sie zwei verschiedene Kugeln kauft, so gibt es für die Auswahl der Sorten

   ${}{\binom {10}{2}}={\frac {10\cdot 9}{2\cdot 1}}=45\,$

   Möglichkeiten. Sodann muss man dabei aber noch festlegen, welche Sorte einmal und welche zweimal genommen wird. Daher gibt es hier ${}90$ Möglichkeiten. Wenn sie von einer Sorte drei Kugeln kauft, so gibt es dafür ${}10$ Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also

   ${}120+90+10=220\,$

   Möglichkeiten.

5. Für die ${}120$ Möglichkeiten aus dem ersten Typ von (4) gibt es jeweils sechs Möglichkeiten, in welcher Reihenfolge sie aufgetürmt werden können, das macht die ${}720$ aus Teil (1). Für die ${}90$ Möglichkeiten aus dem zweiten Typ von (4) gibt es jeweils drei Möglichkeiten, in welcher Reihenfolge sie aufgetürmt werden können (an welcher Stelle kommen die einzelnen Kugeln?), das macht ${}270$ Möglichkeiten. Für den dritten Typ aus (4) ist die Reihenfolge unerheblich, es bleibt also bei den ${}10$ Möglichkeiten. Insgesamt ergeben sich so gerechnet

   ${}720+270+10=1000\,,$

   was dem Ergebnis aus Teil (3) entspricht.

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